درسنامه آموزشی فصل پنجم ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی
درس 1: تابع نمایی و ویژگیهای آن
فعالیت (صفحه 96 تا 97 کتاب درسی)
مسابقات جام حذفی فوتبال ایران در فصل 94-93 با شرکت 32 تیم و در پنج مرحله بازی از یک شانزدهم نهایی تا بازینهایی بهصورت زیر برگزار شد. همانطور که میبینید، در هر مرحله تیم برنده به مرحلهٔ بعدی میرود و تیم بازنده حذف میشود؛ به همین دلیل جام حذفی نامیده میشود.
1) در بازی نهایی چند تیم حضور دارند؟
2) در مرحلهٔ قبل از بازی نهایی چند تیم حضور دارند؟
3) تعداد تیمها در هر مرحله با تعداد تیمها در مرحلهٔ قبل از آن چه ارتباطی دارد؟
4) چه رابطهای بین تعداد مراحل و تعداد کل تیمهای شرکت کننده در این مسابقات برقرار است؟
5) با توجه به الگوی ارائه شده در شکل، اگر تعداد مراحل برابر 6 باشد، تعداد تیمهای اولیه چند تاست؟
6) اگر تعداد مراحل $x$ و تعداد کل تیمها $y$ باشد، چه رابطهای بین $x$ و $y$ برقرار است؟
فعالیت (صفحه 97 کتاب درسی)
جدول زیر را کامل و نقاط بهدست آمده را در نمودار مشخص کنید. مقادیر بهصورت تقریبی نوشته شده است.
| 3 | $\frac{7}{3}$ | 2 | $\frac{3}{2}$ | 1 | $\frac{1}{4}$ | 0 | $-\frac{1}{3}$ | 1- | $-\frac{3}{2}$ | 2- | $-\frac{5}{2}$ | 3- | 4- | $x$ |
| .... | 5/04 | .... | 2/83 | .... | 1/19 | .... | 0/79 | 0/5 | 0/35 | .... | 0/18 | 0/12 | .... | ${{2}^{x}}$ |
دیدیم که برای هر عدد گویای $a$، مقداری برای ${{2}^{a}}$ بهدست میآید و نقطهٔ $(a\,,\,{{2}^{a}})$ را میتوان در دستگاه مختصات نشان داد. این موضوع برای اعداد گنگ نیز برقرار است، یعنی برای هر عدد گنگ مانند $b$ نیز مقداری برای ${{2}^{b}}$ خواهیم داشت و مختصات $(b\,,\,{{2}^{b}})$ نیز نقطهای را در دستگاه مختصات نمایش میدهد. اگر برای تمام اعداد حقیقی $r$، مقادیر ${{2}^{r}}$ را بهدست آوریم و نقاط $(r\,,\,{{2}^{r}})$ را در دستگاه مختصات مشخص کنیم، نمودار زیر بهدست خواهد آمد.
توانهای حقیقی
در کتاب سال دهم، به ازای هر عدد حقیقی مثبت $a$ $(a\ne 1)$ و عدد گویای $\frac{m}{n}$، مقدار ${{a}^{\frac{m}{n}}}$ را تعریف کردیم و ویژگیهای مقدماتی آن را بهدست آوردیم. این قوانین برای توانهای حقیقی نیز برقرار است؛ یعنی اگر $a$ و $b$ دو عدد حقیقی مثبت و مخالف 1 و $x$ و $y$ دو عدد حقیقی باشند، داریم:
${a^0} = 1$ (الف
${{a}^{-x}}=\frac{1}{{{a}^{x}}}$ (ب
${{a}^{x}}.{{a}^{y}}={{a}^{x+y}}$ (پ
${{({{a}^{x}})}^{y}}={{a}^{xy}}$ (ت
${{(ab)}^{x}}={{a}^{x}}.{{b}^{x}}$ (ث
${{(\frac{a}{b})}^{x}}=\frac{{{a}^{x}}}{{{b}^{x}}}$ (ج
$\frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}={{a}^{x-y}}$ (چ
کار در کلاس (صفحه 98 تا 99 کتاب درسی)
1) جدولهای زیر را تکمیل کنید. (مقادیر بهصورت تقریبی نوشته شده است.)
| $\frac{5}{2}$ | 2 | $\frac{3}{2}$ | 1 | $\frac{1}{2}$ | 0 | $-\frac{1}{2}$ | 1- | $-\frac{3}{2}$ | .... | $-\frac{5}{2}$ | $x$ |
| 6/25 | .... | 2/25 | 1 | 0/25 | 0 | 0/25 | 1 | 2/25 | 4 | 6/25 | $y={{x}^{2}}$ |
| $\frac{5}{2}$ | 2 | $\frac{3}{2}$ | 1 | $\frac{1}{2}$ | 0 | $-\frac{1}{2}$ | 1- | $-\frac{3}{2}$ | 2- | 3- | $x$ |
| 5/66 | .... | 2/83 | 2 | .... | .... | 0/71 | 0/5 | 0/35 | .... | 0/12 | $y={{2}^{x}}$ |
2) حال، این دو نمودار را در یک دستگاه مختصات رسم میکنیم. در چند نقطه مقادیر ${{2}^{x}}$ و ${{x}^{2}}$ با هم مساویاند؟
3) در ${{x}^{2}}$، متغیر در................. و عدد ثابت در ................. است؛ ولی در ${{2}^{x}}$، ................. در توان و ................. درپایه است.
|
|
|
مثال: توابع با ضابطههای $y={{2}^{x}}$ و $y={{3}^{x}}$ و $y={{(\frac{1}{2})}^{x}}$ و $y={{(\frac{1}{4})}^{x}}$ نمونهای از توابع نمایی هستند.
فعالیت (صفحه 99 کتاب درسی)
در شکل زیر نمودار تابع نمایی با ضابطهٔ $y={{2}^{x}}$ رسم شده است.
1) محل تقاطع این نمودار با محور عرضها چه نقطهای است؟
2) دامنه و برد این تابع را بهصورت بازه بنویسید.
3) آیا این تابع یکبهیک است؟ چرا؟
4) عدد $\sqrt{2}$ را روی محور $x$ها مشخص کنید و به کمک نمودار، مقدار ${{2}^{\sqrt{2}}}$ را بهصورت تقریبی بهدست آورید.
5) عدد $\frac{7}{2}$ روی محور $y$ها مشخص شده است. با استفاده از نمودار، مقدار تقریبی عدد $a$ را روی محور طولها بهدست آورید؛ بهطوری که $\frac{7}{2}\simeq {{2}^{a}}$.
6) اعداد زیر را از کوچک به بزرگ مرتب کنید.
${{2}^{-1}}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,{{2}^{-0/4}}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,{{2}^{5}}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,{{2}^{0/3}}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,{{2}^{\frac{5}{2}}}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,{{2}^{\frac{3}{2}}}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,{{2}^{\sqrt{5}}}$
7) در حالت کلی اگر $x\lt y$، چه رابطهای بین ${{2}^{x}}$ و ${{2}^{y}}$ برقرار است؟
خواندنی
بیشتر باکتریها در فاصلهٔ 20 دقیقه به حداکثر رشد خود میرسند و قادر به تولیدمثل میشوند. در شرایط محیطی مساعد، باکتری با سرعت زیادی تکثیر میشود. مثلاً یک باکتری بعد از 20 دقیقه به دو باکتری تبدیل میشود. 20 دقیقه بعد، از آن دو باکتری، چهار باکتری بهوجود میآید و به همین ترتیب تعداد باکتریها به 8، 16، 32، 64، 128، 256 و... میرسد. اگر این روش تکثیر باکتریها تا 24 ساعت ادامه یابد، از یک باکتری، تودهای از باکتری به وزن 2000 تن به وجود خواهد آمد! باکتریها از طریق تولید سم یا تخریب سلولهای بدن، باعث بیماری میشوند و به بدن آسیب میرسانند.
کار در کلاس (صفحه 100 کتاب درسی)
نمودار تابع با ضابطهٔ $y={{3}^{x}}$ با استفاده از نقاط جدول زیر رسم شده است.
| $y={{3}^{x}}$ | $x$ |
| 0/11 0/19 0/33 1 1/73 3 |
2- $-\frac{3}{2}$ 1- 0 $\frac{1}{2}$ 1 |
1) جدول زیر را کامل کنید و با استفاده از آن نمودار تابع با ضابطهٔ $y={{4}^{x}}$ را رسم کنید.
| $y={{4}^{x}}$ | $x$ |
| $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}$ .... .... 8 |
.... $-\frac{1}{2}$ 0 $\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$ |
2) دامنه و برد توابع فوق را باهم مقایسه کنید.
3) با استفاده از نمودار، در جاهای خالی علامت مناسب قرار دهید.
${{3}^{2/5}}\,\bigcirc \,{{3}^{\frac{7}{3}}}$ (الف
${{4}^{\sqrt{7}}}\,\bigcirc \,{{4}^{\sqrt{5}}}$ (ب
4) اگر $x\lt y$، در جاهای خالی علامت مناسب قرار دهید.
${{3}^{x}}\,\bigcirc \,{{3}^{y}}$ (الف
${{4}^{x}}\,\bigcirc \,{{4}^{y}}$ (ب
خواندنی
در اغلب ماشین حسابها دکمه ${{x}^{y}}$ (یا ${{y}^{x}}$) وجود دارد که با استفاده از آن میتوانید مقادیر اعداد تواندار را بهدست آورید. برای مثال جهت محاسبهٔ ${{2}^{5}}$، ابتدا عدد 2 را وارد میکنید؛ سپس دکمهٔ ${{x}^{y}}$ و بعد عدد 5 و سپس دکمهٔ تساوی را فشار میدهید که عدد 32 ظاهر میشود. اگر عدد توان، طبیعی نبود، آن را داخل پرانتز قرار میدهیم. تذکر: در برخی از ماشین حسابها بهجای دکمهٔ ${{x}^{y}}$، نمادی بهصورت $\boxed \wedge $ وجود دارد که همان کار را انجام میدهد.
برای تمرین، مقادیر زیر را با استفاده از ماشین حساب بهدست آورید. (تا یک رقم اعشار)
${{2}^{\sqrt{2}}}$ (1
${{2}^{\sqrt{8}}}$ (2
${{2}^{0/1}}$ (3
${{2}^{-0/5}}$ (4
${{2}^{(1+\sqrt{3})}}$ (5
فعالیت (صفحه 101 کتاب درسی)
1) با استفاده از جدول زیر، نمودار تابع با ضابطهٔ $y={{(\frac{1}{2})}^{x}}$ را رسم کنید.
| 3 | .... | 1 | 0 | .... | 2- | 3- | $x$ |
| $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{4}$ | .... | 1 | $\sqrt{2}$ | .... | .... | $y={{(\frac{1}{2})}^{x}}$ |
2) محل تقاطع نمودار این تابع با محور $y$ها چه نقطهای است؟
3) دامنه و برد این تابع را بنویسید.
4) آیا این تابع یکبهیک است؟چرا؟
5) با استفاده از نمودار فوق، درجاهای خالی علامت مناسب قرار دهید.
${{(\frac{1}{2})}^{0/5}}\,\,\bigcirc \,\,{{(\frac{1}{2})}^{1/5}}$ (الف
${{(\frac{1}{2})}^{\sqrt{2}}}\,\,\bigcirc \,\,{{(\frac{1}{2})}^{4}}$ (ب
${{(\frac{1}{2})}^{4}}\,\,\bigcirc \,\,{{(\frac{1}{2})}^{3}}$ (پ
6) با استفاده از نمودار، اگر $x\lt y$، چه رابطهای بین ${{(\frac{1}{2})}^{y}}$ و ${{(\frac{1}{2})}^{x}}$ وجود دارد؟
خواندنی
با استفاده از نرمافزار جئوجبرا (GeoGebra) میتوانید نمودارهای توابع نمایی را به راحتی رسم کنید. برای این کار در نوار دستور، ضابطهٔ تابع را حروف چینی کرده و کلید را بزنید. در پنجرهٔ گرافیکی، نمودار مطلوب نمایش Enter داده میشود.
در تصویر زیر، نمودار تابع با ضابطهٔ $y={{2}^{x}}$ در محیط این نرمافزار نمایش داده شده است.
کار در کلاس (صفحه 102 کتاب درسی)
نمودار توابع با ضابطههای $y={{2}^{x}}$ و $y={{(\frac{1}{2})}^{x}}$ را در نظر بگیرید.
1) نمودارهای این دو تابع نسبت به کدام محور مختصات قرینهاند؟
2) با جایگذاری $-x$ بهجای $x$ در تابع با ضابطهٔ $y={{2}^{x}}$ به تابع با ضابطهٔ $y=.......$ یا همان $y=.......$ دست مییابیم.
3) دامنه و برد این دو تابع چه رابطهای با هم دارند؟....................................... .
4) دو تابع نمایی دیگری که نسبت به محور $y$ها قرینه اند، مثال بزنید.
خواندنی
یک داروی بیماری آسم که بهصورت قرص 100 میلیگرمی موجود است، برای یک بیمار تجویز شده است. اگر او این قرص را مصرف کند و بدانیم در زمان مصرف دارو هیچ میزانی از آن در بدن وی موجود نیست، در این صورت میتوان پیشبینی کرد که بعد از گذشت $t$ دقیقه، در مجموع از این دارو به میزان $A$میلیگرم، در جریان خون او وجود خواهد داشت که از رابطهٔ زیر بهدست میآید:
$A=100\left[ 1-{{(0/9)}^{t}} \right]$
کار در کلاس (صفحه 102 کتاب درسی)
نمودار تابع با ضابطهٔ $y={{(\frac{1}{3})}^{x}}$ را رسم کنید.
فعالیت (صفحه 103 کتاب درسی)
با توجه به مطالبی که در این درس آموختهاید، جملات زیر را تکمیل کنید.
1) دامنهٔ تابع با ضابطهٔ $y={{a}^{x}}$ ($a\gt 1$) مجموعهٔ اعداد حقیقی و برد آن ........... است.
2) دامنهٔ تابع با ضابطهٔ $y={{a}^{x}}$ ($0\lt a\lt 1$) ........... و برد آن بازهٔ $(0\,,\,+\infty )$ است.
3) نمودار توابع فوق محور $y$ها را در نقطهٔ ........... قطع میکند و محور $x$ها را در هیچ نقطهای قطع نمیکند.
4) این دو تابع، یکبهیک ........... زیرا خطوط موازی محور $x$ها، نمودار آنها را حداکثر در ........... نقطه قطع میکند.
نمودار توابع نمایی در حالت کلی مشابه نمودارهای زیر است.
معادلات نمایی
مثال: معادلههای نمایی مقابل را حل کنید.
${{3}^{2x-3}}=81\to {{3}^{2x-3}}={{3}^{4}}\to 2x-3=4\to x=\frac{7}{2}$ (الف
${{4}^{2x-1}}={{8}^{x+1}}\to {{({{2}^{2}})}^{2x-1}}={{({{2}^{3}})}^{x+1}}\to 4x-2=3x+3\to x=5$ (ب
${{5}^{3n-1}}={{125}^{2n+1}}\to {{5}^{3n-1}}={{5}^{6n+3}}\to 3n-1=6n+3\to n=-\frac{4}{3}$ (پ
تمرین (صفحه 104 کتاب درسی)
1) کدام یک از ضابطههای زیر مربوط به یک تابع نمایی است؟
$y=2{{x}^{2}}-3x+1$ (الف
$y={{x}^{3}}$ (ب
$y={{(0/1)}^{x}}$ (پ
$y={{(\frac{3}{2})}^{x}}$ (ت
$y-3x=2$ (ث
$y=\sqrt{x-1}$ (ج
2) کدام یک از نقاط زیر، روی نمودار تابع با ضابطهٔ $y={{3}^{x}}$ قرار دارند؟
$(1\,,\,0)$ (الف
$(3\,,\,1)$ (ب
$(0\,,\,1)$ (پ
$(\sqrt{3}\,,\,\frac{1}{3})$ (ت
$(1\,,\,3)$ (پ
$(-1\,,\,\frac{1}{3})$ (ج
3) کدام گزاره صحیح است؟
الف) نقطهٔ $(\frac{1}{2}\,,\,\sqrt{5})$ روی نمودار تابع با ضابطهٔ $y={{5}^{x}}$ قرار دارد.
ب) محل تقاطع نمودار تابع با ضابطهٔ $y={{10}^{x}}$ با محور $y$ها، نقطهٔ $(0\,,\,10)$ است.
پ) دامنهٔ توابع با ضابطههای $y={{2}^{x}}$ و $y={{x}^{2}}$ مساویاند.
ت) محل تقاطع نمودار تابع با ضابطهٔ $y={{6}^{x}}$ با محور $x$ها، نقطهٔ $(6\,,\,0)$ است.
4) الف) نمودار تابع با ضابطهٔ $y={{3}^{x}}$ را رسم کنید و مقدار تقریبی عدد ${{3}^{\sqrt{2}}}$ را با توجه به نمودار بهدست آورید.
ب) نمودار تابع با ضابطهٔ $y={{(\frac{1}{2})}^{x}}$ را رسم کنید و مقدار تقریبی ${{(\frac{1}{2})}^{\sqrt{5}}}$ را با توجه به نمودار بهدست آورید.
5) فرض کنیم $g(x)={{(\frac{1}{16})}^{x}}\,\,\,\,,\,f(x)={{3}^{x}}$ و $h(x)={{10}^{x}}$، مقادیر زیر را بهدست آورید.
$h(3)$ (الف
$g(-1)$
$h(-2)$
6) معادلات نمایی زیر را حل کنید.
${{2}^{3n-2}}=\frac{1}{{{32}^{2}}}$ (الف
${{9}^{3y-2}}={{27}^{y+1}}$ (ب
${{9}^{3x+2}}=\frac{1}{{{64}^{3}}}$ (پ
${{9}^{x}}={{3}^{{{x}^{2}}-4x}}$ (ت
${{(\frac{3}{5})}^{x+1}}=\frac{25}{9}$ (ث
خواندنی
جمعیت جهان در طول قرن گذشته به سرعت رشد کرده است. در نتیجه تقاضای افزایندهای برای منابع جهان ایجاد شده است. در بیشتر مواقع، از توابع و معادلات نمایی برای مدلسازی رشدهای سریع استفاده میشود. جمعیت جهان که با $P$ نشان داده میشود، در سال 1960 برابر با 3 میلیارد نفر و در سال 2008 برابر با 6/7 میلیارد نفر بوده است. این رشد جمعیت را میتوان با رابطه $P\left( x \right)=3{{\left( 1/017 \right)}^{x-1960}}$ که در آن $x$ نشان دهنده سال است، نمایش داد. به کمک این رابطه میتوان سالی را که در آن جمعیت جهان برابر 8 میلیارد نفر خواهد شد، تخمین زد.
